Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+2alnx．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為1，求實數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=$\frac{2}{x}$+f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義得f′（2）=1，解得即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意x＞0；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系可得g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立．即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立．利用導數(shù)求出函數(shù)h（x）=$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上的最小值，即可得出結論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+2alnx的導數(shù)為f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$，
由已知f'（2）=1，即4+a=1，解得a=-3．
（2）f（x）=x²-6lnx的導數(shù)為f′（x）=2x-$\frac{6}{x}$，x＞0．
由f′（x）＞0，可得x＞$\sqrt{3}$，f′（x）＜0，可得0＜x＜$\sqrt{3}$，
即有f（x）的減區(qū)間為（0，$\sqrt{3}$），增區(qū)間為（$\sqrt{3}$，+∞）；
（3）由g（x）=$\frac{2}{x}$+x²+2alnx，得g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$，
由已知函數(shù)g（x）為[1，2]上的單調減函數(shù)，
則g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
即-$\frac{2}{{x}^{2}}$+2x+$\frac{2a}{x}$≤0在[1，2]上恒成立．
即a≤$\frac{1}{x}$-x²在[1，2]上恒成立．
令h（x）=$\frac{1}{x}$-x²，在[1，2]上h′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x＜0，
所以h（x）在[1，2]為減函數(shù)．h（x）_min=h（2）=-$\frac{7}{2}$，
所以a≤-$\frac{7}{2}$．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值等知識，屬于中檔題．