Question

15．已知拋物線的頂點坐標(biāo)為（3，-2），且與x軸的兩個交點的距離為4．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)及最值；
（3）x為何值時，y隨x的增大而減�。縳為何值時，y隨x的增大而增大？
（4）x為何值時，y＞0？x為何值時，y=0？x為何值時，y＜0？
（5）當(dāng)2≤x≤6時，求函數(shù)的最值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的方程為y=a（x-3）²-2，令y=0，求得方程的根，再由距離為4，解得a，即可得到函數(shù)式；
（2）由函數(shù)式，即可得到開口方向，對稱軸、頂點坐標(biāo)及最值；
（3）由二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到；
（4）由二次不等式的解法，即可得到所求；
（5）由拋物線的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的方程為y=a（x-3）²-2，
令y=0，則a（x-3）²=2，
解得x=3±$\sqrt{\frac{2}{a}}$，
由題意可得2$\sqrt{\frac{2}{a}}$=4，解得a=$\frac{1}{2}$，
則y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$；
（2）拋物線的開口方向向上、對稱軸為x=3、
頂點坐標(biāo)為（3，-2）及最小值為-2；
（3）當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而減�。粁＞3時，y隨x的增大而增大；
（4）由y=0解得x=1或5；y＞0可得x＞5或x＜1；y＜0可得1＜x＜5．
即有x＞5或x＜1時，y＞0；x=1或x=5時，y=0；1＜x＜5時，y＜0；
（5）函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²-3x+$\frac{5}{2}$的對稱軸x=3，
3∈[2，6]，可得x=3時取得最小值-2；
由x=6取得最大值，且為$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的解析式和性質(zhì)，考查二次不等式的解法和二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．