Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）令，當時，不等式恒成立，

求實數(shù)的取值范圍；

（3）令，記數(shù)列的前n項積為，求證：

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2） （3）見解析；

【解析】

試題分析：（1）由題已知，可得函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值（注意定義域）�？上惹蠛瘮�(shù)的導數(shù)，令，為增區(qū)間，反之為減區(qū)間，再判斷出極值。

（2）由題為在給定區(qū)間上的恒成立問題，即成立等價于，變量分離得；，然后構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求在的最小值，可求得的取值范圍。

（3）為數(shù)列不等式的證明，由，聯(lián)系所證明的結(jié)論，可兩邊取自然對數(shù)，再運用對應函數(shù)的單調(diào)性放縮，可得等差與等比商型數(shù)列，利用錯位相減法可證得結(jié)論。

試題解析：（1）當時，

當時；當時＜0

∴當時，無極小值，

且函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；

（2）當時， 不等式恒成立等價于≥0

即：恒成立。令

當時， 則：

則實數(shù)a的取值范圍

（3）由（1）得：當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，則：，

即：，

則：

記： ①

②

①－②得：

則：