Question

（2013•湖北）假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N（800，50²）的隨機(jī)變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過(guò)900的概率為p₀．
（Ⅰ）求p₀的值；
（參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ²），有P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（Ⅱ）某客運(yùn)公司用A，B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個(gè)不超過(guò)21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p₀的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

Answer 1

分析：（I）變量服從正態(tài)分布N（800，50²），即服從均值為800，標(biāo)準(zhǔn)差為50的正態(tài)分布，適合700＜X≤900范圍內(nèi)取值即在（μ-2σ，μ+2σ）內(nèi)取值，其概率為：95.44%，從而由正態(tài)分布的對(duì)稱性得出不超過(guò)900的概率為p₀．
（II）設(shè)每天應(yīng)派出A型x輛、B型車y輛，根據(jù)條件列出不等式組，即得線性約束條件，列出目標(biāo)函數(shù)，畫(huà)出可行域求解．

解答：解：（Ⅰ）由于隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（800，50²），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．
由正態(tài)分布的對(duì)稱性，可得p₀=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=

1

2

+

1

2

P(700＜X≤900)=0.9772
（Ⅱ）設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的營(yíng)運(yùn)成本為1600x+2400y．
依題意，x，y還需滿足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥p₀．
由（Ⅰ）知，p₀=P（X≤900），故P（X≤360x+60y）≥p₀等價(jià)于36x+60y≥900．
于是問(wèn)題等價(jià)于求滿足約束條件

x+y≤21 y≤x+7 36x+60y≥900 x，y≥0，x，y∈N

且使目標(biāo)函數(shù)z=1600x+2400y達(dá)到最小值的x，y．
作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（5，12），Q（7，14），R（15，6）．
由圖可知，當(dāng)直線z=1600x+2400y經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z=1600x+2400y在y軸上截距

z

2400

最小，即z取得最小值．
故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．本題解題的關(guān)鍵是列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)，將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．