Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，定點(diǎn)F（-1，0）、F′（1，0），動(dòng)點(diǎn)M，滿足條件|

MF

|+|

MF′|

=2

2

．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F的直線交曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求以AB為直徑的圓的方程，并判定這個(gè)圓與直線x=-2的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題中條件：“|

MF

|+|

MF′|

=2

2

”易知M的軌跡是橢圓，結(jié)合橢圓的概念即可求得其方程；
（Ⅱ）分兩種情形討論：①當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x+1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系利用以AB為直徑的圓的方程得到圓心到直線x=-2的距離d＞R，所以圓于直線相離；當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得半徑為

1

2

的圓與直線x=-2也相離，從而問題解決．

解答：解：（Ⅰ）易知M的軌跡是橢圓，c=1，a=

2

，b=1，方程為

x2

2

+y2=1．（3分）
（Ⅱ）①當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x+1），由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

，消去y整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0；（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有

x1+x2=- 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

①（6分）
以AB為直徑的圓的方程為（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0，
即x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y+x₁x₂+y₁y₂=0；②（7分）
由①得y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂）+2k=

2k

1+2k2

，③y1y2=k2(x1+1)(x1+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1]=-

k2

1+2k2

；④（8分）
將①③④代入②化簡(jiǎn)得x2+y2+

4k2

1+2k2

x-

2k

1+2k2

y+

k2-2

1+2k2

=0，
即(x+

2k2

1+2k2

)2+(y-

k

1+2k2

)2=[

2 (1+k2)

1+2k2

]2．（10分）
對(duì)任意的k∈R，圓心(-

2k2

1+2k2

，

k

1+2k2

)到直線x=-2的距離是d=2-

2k2

1+2k2

=

2k2+2

1+2k2

，d-R=

2k2+2

1+2k2

-

2 (1+k2)

1+2k2

=

(2- 2 )(1+k2)

1+2k2

＞0，即d＞R，所以圓于直線相離．（12分）
當(dāng)斜率不存在時(shí)，易得半徑為

1

2

，圓的方程是(x-1)2+y2=

1

2

，與直線x=-2也相離．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．