Question

已知圓C的圓心坐標(biāo)是（-

1

2

，3），且圓C與直線x+2y-3=0相交于P，Q兩點(diǎn)，又OP⊥OQ，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓C的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題,直線與圓

分析：設(shè)出圓的一般方程，求出圓的圓心坐標(biāo)，即可求出D、E．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)適合圓的方程，由韋達(dá)定理求出y₁+y₂，y₁y₂，利用OP⊥OQ，求出F，即可得到圓的方程．

解答： 解：設(shè)圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0．其圓心為（-

D

2

，-

E

2

），則
-

D

2

=-

1

2

，-

E

2

=3，
∴D=1，E=-6，
∴圓方程為x²+y²+x-6y+F=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)適合方程組x²+y²+x-6y+F=0x+2y-3=0
消去x得，5y²-20y+12+F=0由韋達(dá)定理得：y₁+y₂=4，y₁y₂=

12+F

5

∴x₁x₂=（-2y₁+3）（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=

4F-27

5

∵OP⊥OQ，
∴

y1y2

x1x2

=-1，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4F-27

5

+

12+F

5

=0，
∴F=3
故所求圓的方程為x²+y²+x-6y+3=0

點(diǎn)評：本題考查圓的方程的求法，圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計算能力．