Question

（14分）（2011•福建）已知a，b為常數(shù)，且a≠0，函數(shù)f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（I）求實(shí)數(shù)b的值；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（III）當(dāng)a=1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說明理由．

Answer 1

（I）b=2
（II）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（III）見解析

試題分析：（I）把x=e代入函數(shù)f（x）=﹣ax+b+axlnx，解方程即可求得實(shí)數(shù)b的值；
（II）求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（III）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m和M（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[，e]上的值域．
解：（I）由f（e）=2，代入f（x）=﹣ax+b+axlnx，
得b=2；
（II）由（I）可得f（x）=﹣ax+2+axlnx，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
從而f′（x）=alnx，
∵a≠0，故
①當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞1，由f′（x）＜0得0＜x＜1；
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1；
綜上，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（III）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣x+2+xlnx，f′（x）=lnx，
由（II）可得，當(dāng)x∈（，e），f（x），f′（x）變化情況如下表：

又f（）=2﹣＜2，
所以y=f（x）在[，e]上的值域?yàn)閇1，2]，
據(jù)此可得，若，則對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)；
并且對(duì)每一個(gè)t∈（﹣∞，m）∪（M，+∞），直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都沒有公共點(diǎn)；
綜上當(dāng)a=1時(shí)，存在最小實(shí)數(shù)m=1和最大的實(shí)數(shù)M=2（m＜M），使得對(duì)每一個(gè)t∈[m，M]，直線y=t與曲線y=f（x）（x∈[，e]）都有公共點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力和抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，分類與整合思想．其中問題（III）是一個(gè)開放性問題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．