Question

已知（x 

2

3

+3x²）ⁿ的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992，求：
（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項；
（2）展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（1）由題意可得 4ⁿ-2ⁿ=992，求得n的值，可得展開式中二項式系數(shù)最大的項．
（2）利用通項公式求得第r+1項的系數(shù)為3^r•

C

r 5

，r=0，1，2，3，4，5，檢驗可得系數(shù)最大的項．

解答： 解：（1）由題意可得 4ⁿ-2ⁿ=992，求得 2ⁿ=32，∴n=5．
故展開式中二項式系數(shù)最大的項為第三項或第四項，
即 T₃=

C

2 5

•9•x⁶=90x⁶，或 T₄=

C

3 5

•27•x

22

3

=270x

22

3

．
（2）由于（x 

2

3

+3x²）⁵的展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 5

•3^r•x

10+4r

3

，
故第r+1項的系數(shù)為3^r•

C

r 5

，r=0，1，2，3，4，5，
故當(dāng)r=4時，該項的系數(shù)最大，即第5項的系數(shù)最大，該項為 T₅=

C

4 5

•81•x

26

3

=405x

26

3

．

點評：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．