已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的極大值.
(Ⅱ)求證:存在,使;
(Ⅲ)對于函數(shù)與定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,若存在常數(shù)k,b,使得和都成立,則稱直線為函數(shù)與的分界線.試探究函數(shù)與是否存在“分界線”?若存在,請給予證明,并求出k,b的值;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)……………………………………(1分)
令解得
令解得.……………………………………………………(2分)
∴函數(shù)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. ……………(3分)
所以的極大值為 …………………………………………(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
令
∴ ………………………………………………(5分)
取則
………………………………(6分)
故存在使即存在使
………………………………………………(7分)
(說明:的取法不唯一,只要滿足且即可)
(Ⅱ)設(shè)
則
則當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增.
∴是函數(shù)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),
∴
∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn)().………(9分)
設(shè)與存在“分界線”且方程為,
令函數(shù)
①由≥,得在上恒成立,
即在上恒成立,
∴,
即,
∴,故………………………………………(11分)
②下面說明:,
即恒成立.
設(shè)
則
∵當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
∴當(dāng)時(shí),取得最大值0,.
∴成立.………………………………………(13分)
綜合①②知且
故函數(shù)與存在“分界線”,
此時(shí)…………………………………………………(14分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西省高三上學(xué)期第二次月考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對任意,函數(shù)在上都有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年廣東省東莞市教育局教研室高三上學(xué)期數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分分)
已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最大值;
(2)在中,,角滿足,求的面積.
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