Question

已知函數(shù)f（x）=

x2(x＞1) x2-4x+4(x≤1)

，若f（2m+1）＞f（m²-2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)性，討論m的取值，把不等式f（2m+1）＞f（m²-2）轉(zhuǎn)可化為含有m的可以解答的不等式，從而求出m的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x2(x＞1) x2-4x+4(x≤1)

，
∴當(dāng)

2m+1＞1 m2-2＞1

，即m＞

3

時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化為2m+1＞m²-2，解得-1＜m＜3；
∴m的取值范圍是

3

＜m＜3；
當(dāng)

2m+1≤1 m2-2≤1

，即-

3

≤m≤0時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化為2m+1＜m²-2，解得m＜-1，或m＞3；
∴m的取值范圍是-

3

≤m＜-1；
當(dāng)

2m+1＞1 m2-2≤1

，即0＜m≤

3

時(shí)，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化為（2m+1）²＞[（m²-2）-2]²，解得1-

6

＜m＜1+

6

，或-3＜m＜1；
∴m的取值范圍是0＜m＜1；
當(dāng)

2m+1≤1 m2-2＞1

，即m＜-

3

時(shí)，
f（2m+1）＞f（m²-2）可化為[（2m+1）-2]²＞（m²-2）²，解得-3＜m＜1；1-

2

＜m＜1+

2

∴m的取值范圍是-3＜m＜-

3

；
綜上，m的取值范圍是{m|-3＜m＜-1，0＜m＜1或

3

＜m＜3}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用問題，也考查解分類討論解不等式的問題，解題的關(guān)鍵是分類討論與確定函數(shù)的單調(diào)性的問題，是易錯(cuò)題．