【題目】如圖,在△MBC中,MA是BC邊上的高,MA=3,AC=4,將△MBC沿MA進行翻折,使得∠BAC=90°如圖,再過點B作BD∥AC,連接AD,CD,MD且,∠CAD=30°.
(1)求證:平面MCD⊥平面MAD;
(2)求點B到平面MAD的距離.
【答案】(1)見解析; (2).
【解析】
(1)證明CD⊥平面MAD即可.
(2)利用等體積法 VB﹣MAD=VM﹣BAD,再求出,利用三棱錐的體積公式求解即可.
(1)因為MA是BC邊上的高,所以MA⊥AB,MA⊥AC,
又因為AB平面ABDC,AC平面ABDC,AB∩AC=A,
所以MA⊥平面ABDC,則MA⊥CD,MA⊥AD,
在Rt△ADM中,MD,
在Rt△ACM中,MC5,
在△ACD中,由余弦定理可得CD2,
則在△CDM中,CD2+DM2=CM2,即有△CDM是直角三角形,所以CD⊥DM,
又因為CD⊥AM,AM平面MAD,DM平面MAD,AM∩DM=M,
所以CD⊥平面MAD,又因為CD平面MCD,所以平面MCD⊥平面MAD;
(2)在△BAD中,∠BAD=60°,AD=2,則AB,BD=3,所以,
又因為MA⊥AD,所以3,
因為MA⊥平面ABDC,即MA⊥平面BAD,則VB﹣MAD=VM﹣BAD,
即3,解得d,
即點B到平面MAD的距離為.
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【題目】p:方程x2+2mx+1=0有兩個不相等的正根,q:不等式m2﹣m﹣6<0成立;求使p∨q為真,p∧q為假時,實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】華為手機作為華為公司三大核心業(yè)務(wù)之一,2018年的銷售量躍居全球第二名,某機構(gòu)隨機選取了100名華為手機的顧客進行調(diào)查,并將這人的手機價格按照,,…分成組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,其中是的倍.
(1)求,的值;
(2)求這名顧客手機價格的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表);
(3)利用分層抽樣的方式從手機價格在和的顧客中選取人,并從這人中隨機抽取人進行回訪,求抽取的人手機價格在不同區(qū)間的概率.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)證明AE⊥平面PCD.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為BC,AC的中點,AB=BC.
求證:(1)A1B1∥平面DEC1;
(2)BE⊥C1E.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相切,與橢圓相交于兩點,求證:是定值.
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【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,,,,E為AB的中點將沿CE折起,使點B到達點F的位置,且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為.
求證:平面平面AEF;
求直線DF與平面CEF所成角的正弦值.
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