已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，有恒成立.

（1）判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結論；

（2）若對所有恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

 

【答案】

（1）增函數(shù)，證明詳見解析；（2）或或

【解析】

試題分析：（1）要判斷函數(shù)的單調性一般可用增函數(shù)和減函數(shù)的定義或利用導函數(shù)判斷，由于本題沒有函數(shù)解析式，再結合題目特點，適于用定義判斷，解決問題的關鍵是對照增函數(shù)和減函數(shù)的定義，再結合奇函數(shù)的條件，怎樣通過適當?shù)馁x值構造出與和相關的式子，再判斷符號解決，通過觀察，只要令即可；(2)不等式恒成立問題一般要轉化為函數(shù)的最值問題，先將原問題轉化為對任意成立，再構造函數(shù)，問題又轉化為任意恒成立，此時可對的系數(shù)的符號討論，但較為繁瑣，較為簡單的做法是只要滿足且即可.

試題解析：（1）設且，則，是奇函數(shù)

由題設知

且時  ，

即在上是增函數(shù)

（2）由（1）知，在上是增函數(shù)，且 

要，對所有恒成立，需且只需

即成立，

令，對任意恒成立  需且只需滿足

，或或

考點：函數(shù)的單調性、不等式恒成立.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)． 當a，b∈[-1，1]，且a+b≠0時，有
f(a)+f(b)a+b
＞0成立．
（Ⅰ）判斷函f（x）的單調性，并證明；
（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m2-2bm+1對所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實數(shù)a，b都有f（a•b）=af（b）+bf（a），則（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆云南省高一上學期期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，

（1）確定函數(shù)的解析式；

（2）用定義證明在上是增函數(shù)；

（3）解不等式.

【解析】第一問利用函數(shù)的奇函數(shù)性質可知f(0)=0

結合條件，解得函數(shù)解析式

第二問中，利用函數(shù)單調性的定義，作差變形，定號，證明。

第三問中，結合第二問中的單調性，可知要是原式有意義的利用變量大，則函數(shù)值大的關系得到結論。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省高三三月月考數(shù)學（理）試卷 題型：選擇題

已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，在[0，2]上是增函

數(shù)，則下列結論：

(1)若，則；[來源:Z§xx§k.Com]

(2)若且；

(3)若方程在[-8，8]內恰有四個不同的根，則；

其中正確的有（     ）

A．0個              B．1個             C．2個               D．3個

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實數(shù)都有, 則

(A)是奇函數(shù)，但不是偶函數(shù)         (B)是偶函數(shù)，但不是奇函數(shù)

(C)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)         (D)既非奇函數(shù)，又非偶函

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