Question

關(guān)于x的方程（2^x-1）²-（3k+2）|2^x-1|+1+2k=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

{k|k=-或k＞0}
分析：設(shè)t=|2^x-1|，則原方程轉(zhuǎn)化為t²-（3k+2）t+1+2k=0，然后利用一元二次方程與t的關(guān)系確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：解：設(shè)t=|2^x-1|，則原方程轉(zhuǎn)化為t²-（3k+2）t+1+2k=0．
由圖象可知，當(dāng)t≥1時(shí)，t=|2^x-1|，有一個(gè)解．
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，t=|2^x-1|，有2個(gè)解，
當(dāng)t=0時(shí)，t=|2^x-1|，有一個(gè)解．
所以要使關(guān)于x的方程（2^x-1）²-（3k+2）|2^x-1|+1+2k=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
則方程t²-（3k+2）t+1+2k=0的根滿足
①t₁=0，0＜t₂＜1．或者②t₁＞1，0＜t₂＜1．
若t₁=0，則1+2k=0，解得k=，此時(shí)方程為，對(duì)應(yīng)方程的根為t=0或t=，滿足條件．
若t₁＞1，0＜t₂＜1．，設(shè)f（t）=t²-（3k+2）t+1+2k，
則有，即，所以解得k＞0．
綜上：實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k=-或k＞0}．
故答案為：{k|k=-或k＞0}．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)要熟練掌握一元二次函數(shù)根的分布，本題綜合性較強(qiáng)．