Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲線上的點(diǎn)，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x軸正半軸上的點(diǎn)，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A₀為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）寫出a_n-1、a_n和x_n之間的等量關(guān)系，以及a_n-1、a_n和y_n之間的等量關(guān)系；
（2）猜測(cè)并證明數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求實(shí)常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，．…（4分）
（2）由得 =，
即，猜測(cè)． …（2分）
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，可求得，命題成立； …（1分）
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即有，…（1分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)及，
得，
即
解得，（不合題意，舍去），
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立． …（3分）
綜上所述，對(duì)所有n∈N^*，． …（1分）
（3）==．…（2分）
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，且，
所以．…（2分）
A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或，
故，，即 實(shí)常數(shù)a的取值范圍為．…（2分）
分析：（1）依題意利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，．
（2）由得 =，即，猜測(cè)，
再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（3）用裂項(xiàng)法求得的值為，由函數(shù)在區(qū)間
[1，+∞）上單調(diào)遞增，且，求得，再由 A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或，由此求得實(shí)常數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列求和，兩個(gè)集合的交集的定義的應(yīng)用，屬于難題．