設(shè)f(x)=alog22x+blog4x2+1,(a,b為常數(shù)).當(dāng)x>0時(shí),F(xiàn)(x)=f(x),且F(x)為R上的奇函數(shù).
(Ⅰ)若f(
1
2
)=0
,且f(x)的最小值為0,求F(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,g(x)=
f(x)+k-1
log2x
在[2,4]上是單調(diào)函數(shù),求k的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)f(
1
2
)=0
可消去b,再由f(x)的最小值為0確定f(x)的解析式,最后求出F(x)的解析式.
(2)根據(jù)(1)先將g(x)的解析式化簡(jiǎn)為g(x)=log2x+
k
log2x
+2
,再將t=log2x代入進(jìn)行換元,可得答案.
解答:解:(1)f(x)=alog22x+blog2x+1
f(
1
2
)=0
得a-b+1=0,
∴f(x)=alog22x+(a+1)log2x+1
若a=0則f(x)=log2x+1無(wú)最小值.
∴a≠0.
欲使f(x)取最小值為0,只能使
a>0
4a-(a+1)2
4a
=0
,知a=1,b=2.
∴f(x)=log22x+2log2x+
設(shè)x<0則-x>0,
∴F(x)=f(-x)=log22(-x)+2log2(-x)+1
又F(-x)=-F(x),
∴F(x)=-log22(-x)-2log2(-x)-1
又F(0)=0∴F(-x)=
log22x+2log2x+1  (x>0)
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(x=0)
-log22(-x)-2log2(-x)-1  (x<0)

(2)g(x)=
log22x+2log2x+1+k-1
log2x
=log2x+
k
log2x
+2
.x∈[2,4].
得log2x=t.則y=t+
k
t
+2
,t∈[1,2].
∴當(dāng)k≤0,或
k
≤1
k
≥2
時(shí),y為單調(diào)函數(shù).
綜上,k≤1或k≥4.
點(diǎn)評(píng):主要考查求函數(shù)解析式的問(wèn)題.本題屬于較難類(lèi)型的題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
a
=(
3
cosx-
3
,sinx)
,
b
=(1+cosx,cosx)
,設(shè)f(x)=
a
b

(1)求f(
25π
6
)
的值;
(2)當(dāng)x∈[-
π
3
,
π
6
]
時(shí),求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

記[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).設(shè)f(x)=[
x
11
]•[
-11
x
]
,則f(3)=
 
;如果0<x<60,那么函數(shù)f(x)的值域是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
a
x
(a>0),設(shè)F(x)=f(x)+g(x)

(I)求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)若以函數(shù)y=F(x)(x∈(0,3])的圖象上任意一點(diǎn)P(x0,y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k≤
1
3
恒成立,求實(shí)數(shù)a的最小值;
(III)是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)y=g(
2a
x2+1
)+m-1
的圖象與函數(shù)y=f(1+x2)的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2005•上海模擬)設(shè)f(x)=
ax+11-ax
(a>0,a≠1)

(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x):
(2)討論f-1(x)在(1.+∞)上的單調(diào)性,并加以證明:
(3)令g(x)=1+logax,當(dāng)[m,n]?(1,+∞)(m<n)時(shí),f-1(x)在[m,n]上的值域是[g(n),g(m)],求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=
1,x≥0
0,x<0
,則函數(shù)f(x)的值域是( 。
A、{0,1}
B、[0,1]
C、{(0,1)}
D、(0,1)

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