Question

已知函數(shù)f(x)＝－alnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)f(x)存在最小值時(shí)，求其最小值φ(a)的解析式；
（Ⅱ）對(duì)（Ⅰ）中的φ(a)，
（�。┊�(dāng)a∈(0，＋∞)時(shí)，證明：φ(a)≤1；
（ⅱ）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，證明：φ′()≤≤φ′()．

Answer 1

（Ⅰ）φ(a)＝a－alna（a＞0）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求最值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，分類(lèi)討論.
試題解析：(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)，得f ′(x)＝－＝（x＞0）．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f ′(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，無(wú)最小值．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f ′(x)＝0，解得x＝a²．
當(dāng)0＜x＜a²時(shí)，f ′(x)＜0，∴f(x)在(0，a²)上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞a²時(shí)，f ′(x)＞0，∴f(x)在(a²，＋∞)上是增函數(shù)．
∴f(x)在x＝a²處取得最小值f(a²)＝a－alna．
故f(x)的最小值φ(a)的解析式為φ(a)＝a－alna（a＞0）．         6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a－alna（a＞0），
求導(dǎo)數(shù)，得φ′(a)＝－lna．
（�。┝瞀铡�(a)＝0，解得a＝1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞1時(shí)，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．
∴φ(a)在a＝1處取得最大值φ(1)＝1．
故當(dāng)a∈(0，＋∞)時(shí)，總有φ(a)≤1．             10分
（ⅱ）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，
＝－＝－ln，               ①
φ′()＝－ln()≤－ln，                  ②
φ′()＝－ln()≥－ln＝－ln，        ③
由①②③，得φ′()≤≤φ′()．         14分