Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f(x)=

ax-1

ax+1

（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞0； 
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求證：方程f（x）=lnx在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)根．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計(jì)算題,分類討論

分析：（1）不等式f（x）＞0，通過(guò)轉(zhuǎn)化為指數(shù)不等式．求解即可；
（2）令g（x）=f（x）-lnx，根據(jù)g（1）＞0、g（3）＜0，利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理證得結(jié)論．

解答： 解：（1）不等式f（x）＞0，即

ax-1

ax+1

＞0，∵a^x+1＞0，∴不等式轉(zhuǎn)化為：a^x-1＞0⇒a^x＞1=a⁰，
當(dāng)a＞1時(shí)，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜0．
綜上：a＞1時(shí)，不等式的解集：{x|x＞0}；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為：{x|x＜0}．
（2）a=2時(shí)，由方程f（x）=lnx，令g（x）=f（x）-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，
因?yàn)間（1）=

21-1

21+1

-ln1=

1

3

＞0，g（2）=

22-1

22+1

-ln2=

3

5

-ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在區(qū)間（1，2）上．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)不等式的解法，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．