Question

如圖，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，
（1）證明：MN⊥AB；
（2）設平面PDC和平面ABCD所成的二面角為θ，試求當θ為何值時，MN⊥面PCD．

Answer 1

分析：（1）利用兩平行線中的一條垂直于平面另一條也垂直平面判斷出NO⊥平面ABCD，利用線面垂直的判定定理與性質定理得到MN⊥AB．
（2）由已知易得：∠PDA即為平面PDC和平面ABCD所成的二面角的平面角，利用等腰三角形的中線垂直于底邊得到MN⊥PC，由（1）知，MN⊥CD，利用線面垂直的判定定理得到MN⊥平面PCD．

解答：證明：（1）連接AC，BD，設AC∩BD=0，連接NO，MO，則NO∥PA．
∵PA⊥平面ABCD，
∴NO⊥平面ABCD，
又∵AB?平面ABCD，
∴NO⊥AB，
∵MO⊥AB，NO∩MO=0，NO，MO?面MNO
∴AB⊥面MNO
又∵MN?面MNO
∴MN⊥AB…（6分）
解：（2）當θ=45°時，MN⊥面PCD，理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD
又∵矩形ABCD中AD⊥CD
∴∠PDA即為平面PDC和平面ABCD所成的二面角的平面角
∴∠PDA=45°
∴PA=AD=BC，由△PAM≌△CBM
得PM=CM，
又∵N為PC的中點，
∴MN⊥PC
又MN⊥CD，PC∩CD=C
∴MN⊥平面PCD　　　　…（12分）

點評：本題考查線面垂直的判定定理；考查線面垂直的性質定理，利用三角形的中位線證明線線平行，屬于中檔題．