Question

討論函數(shù)f(x)＝的單調(diào)性，并求其值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法1：∵函數(shù)f(x)的定義域(－∞，＋∞)，設(shè)x₁，x₂∈(－∞，＋∞)且有x₁＜x₂．

　　∴f(x₂)＝，．

　　．

　　(1)當(dāng)x₁＜x₂≤1時，x₁＋x₂＜2即有x₁＋x₂－2＜0．

　　又∵x₂－x₁＞0，∴(x₂－x₁)(x₂＋x₁－2)＜0，則知＞1，又對于x∈R，f(x)＞0恒成立．

　　∴f(x₂)＞f(x₁)．所以，函數(shù)f(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞增．

　　(2)當(dāng)1≥x₁＜x₂時，x₁＋x₂＞2即有x₁＋x₂－2＞0．

　　又∵x₂－x₁＞0，∴(x₂－x₁)(x₂＋x₁－2)＞0，則知

　　所以，函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．

　　綜上，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，1]上是增函數(shù)；在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數(shù)．

　　∵x²－2x＝(x－1)²－1≥－1，，．

　　所以，函數(shù)f(x)的值域為(0，3]

　　

　　思想方法小結(jié)：(1)在只有一個中間函數(shù)的復(fù)合函數(shù)中，若原函數(shù)與中間函數(shù)單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若原函數(shù)與中間函數(shù)單調(diào)性相異，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．(2)利用函數(shù)的單調(diào)性來求它的值域，也是求函數(shù)值域的一種方法．

提示：

　　思路分析1：對于x∈R，＞0恒成立，因此可以通過作商討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

　　思路分析2：此函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)及二次函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，因此可以通過逐層討論它的單調(diào)性，綜合得到結(jié)果．