Question

16．求下列函數(shù)的最值：
（1）f（x）=x³-3x²+6x-2（-1≤x≤1）；
（2）f（x）=x+$\sqrt{1-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到最值；
（2）求得函數(shù)的定義域，設(shè)x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），則函數(shù)y=sinα+$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），運(yùn)用正弦喊話說(shuō)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求最值．

解答 解：（1）f（x）=x³-3x²+6x-2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-6x+6
=3（x-1）²+3＞0，即有區(qū)間[-1，1]為增區(qū)間，
則f（-1）為最小值，且為-12，最大值為f（1）=2；
（2）由1-x²≥0可得-1≤x≤1，
設(shè)x=sinα（-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），則函數(shù)y=sinα+$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$
=sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
由-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$，可得-$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{4}$，
當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，sin（α+$\frac{π}{4}$）=1，函數(shù)取得最大值$\sqrt{2}$；
當(dāng)α=-$\frac{π}{2}$時(shí)，sin（α+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，函數(shù)取得最小值-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和三角換元的方法，考查運(yùn)算的能力，屬于中檔題．