設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R,對于任意實(shí)數(shù)m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1.
(1)求證:f(0)=1,且當(dāng)x<0時(shí),有f(x)>1;
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性;
(3)設(shè)集合A={(x,y)|f(x2)•f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,求a的取值范圍.
分析:(1)利用賦值法證明f(0)=1,因?yàn)閒(m+n)=f(m)f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,利用賦值法,只需令m=x<0,n=-x>0,即可證明當(dāng)x<0時(shí),有f(x)>1.
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷,只需設(shè)R上x1,x2,且x1<x2,再作差比較f(x2)與f(x1)的大小即可.
(3)先判斷集合A,B分別表示什么集合,兩個(gè)集合都是點(diǎn)集,A表示圓心在(0,0),半徑是1的圓的內(nèi)部,B表示直線ax-y+2=0,因?yàn)锳∩B=∅,所以直線與圓內(nèi)部沒有交點(diǎn),直線與圓相離或相切,再據(jù)此求出參數(shù)的范圍.
解答:解:(1)證明:∵f(m+n)=f(m)f(n),令m=1,n=0,則f(1)=f(1)f(0),
且由x>0時(shí),0<f(x)<1,∴f(1)>0∴f(0)=1;
設(shè)m=x<0,n=-x>0,∴f(0)=f(x)f(-x),∴f(x)=
1
f(-x)

∵-x>0,∴0<f(-x)<1,∴
1
f(-x)
>1.
即當(dāng)x<0時(shí),有f(x)>1.
(2)設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,∴0<f(x2-x1)<1,
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1
=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,
 當(dāng)m=n時(shí),f(2n)=f(n)f(n)=f(n)2≥0,
所以當(dāng)x∈R,f(x)≥0,所以f(x1)≥0,
所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2>f(x1),
∴f(x)在R上單調(diào)遞減.
(3)∵f(x2)f(y2)>f(1),
∴f(x2+y2)>f(1),由f(x)單調(diào)性知x2+y2<1,
又f(ax-y+2)=1=f(0),
∴ax-y+2=0,
又A∩B=∅,∴
2
a2+1
≥1

∴a2+1≤4,從而-
3
≤a≤
3
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值,以及抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,利用集合關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.
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3
2
)與b=f(
15
2
)的大小關(guān)系為
a>b
a>b

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對于任意x1,x2∈D,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)≤f(x2),則稱函數(shù)f(x)在D上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)為定義在[0,1]上的非減函數(shù),且滿足以下三個(gè)條件:①f(0)=0;②f(1-x)+f(x)=1,x∈[0,1]; ③當(dāng)x∈[0,
1
4
]
時(shí),f(x)≥2x恒成立.則f(
3
7
)+f(
5
9
)
=
1
1

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設(shè)函數(shù)f(x)的定義在R上的偶函數(shù),且是以4為周期的周期函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=2x-cosx,則a=f(-數(shù)學(xué)公式)與b=f(數(shù)學(xué)公式)的大小關(guān)系為________.

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