Question

9．已知定點(diǎn)A（2，2），B（8，4），x∈R，則$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$的最小值為6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)C（x，0），它是x軸上的點(diǎn)，$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$是點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離值，$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$是點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離值，A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′（2，-2），連A′B，利用三角形任意兩邊和大于第三邊有|AC|+|BC|＞|A′B|=|A′D|+|DB|，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)點(diǎn)C（x，0），它是x軸上的點(diǎn)，$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$是點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離值，$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$是點(diǎn)B和點(diǎn)C的距離值．
A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′（2，-2），連A′B，得其直線方程為y=x-4，該直線與x軸的交點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，0）．
當(dāng)D與C不重合時(shí)，根據(jù)三角形任意兩邊和大于第三邊有|AC|+|BC|＞|A′B|=|A′D|+|DB|．
∵|A′B|=6$\sqrt{2}$，∴|AC|+|BC|≥6$\sqrt{2}$，
∴x=4時(shí)，$\sqrt{（x-2）^{2}+{2}^{2}}$+$\sqrt{（x-8）^{2}+{4}^{2}}$有最小值6$\sqrt{2}$．
故答案為：6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．