（本題滿分15分）已知，是平面上的兩個定點，動點滿足．

（1）求動點的軌跡方程；

（2）已知圓方程為，過圓上任意一點作圓的切線，切線與（1）中的軌跡交于，兩點，為坐標(biāo)原點，設(shè)為的中點，求長度的取值范圍．

（1） ；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義知點的軌跡為焦點在軸上的橢圓且，，，

故動點的軌跡方程為；（2）若直線斜率不存在，則直線方程為，

則，若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，由 ，又直線與圓相切，則

，所以再對k進(jìn)行分類討論即可求得長度的取值范圍

試題解析：（1）由題意知，點的軌跡為焦點在軸上的橢圓， 2分

且，，，

∴動點的軌跡方程為 5分

（2）若直線斜率不存在，則直線方程為，

此時， 6分

若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，，

聯(lián)立，得：

∴ 8分

∴∴ 9分

∵直線與圓相切，∴，即 11分

∴

當(dāng)時，

當(dāng)時，， 14分

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立 ∴ 15分

考點：圓錐曲線的綜合應(yīng)用

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（D）成等比數(shù)列

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