Question

已知向量

a

=（

3

sinωx，cosωx），

b

=（cosωx，-cosωx）（ω＞0）．函數(shù)f（x）=

a

•

b

，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）當(dāng)x∈[0，2π]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足b²=ac，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用向量的坐標(biāo)，表示出f（x）的解析式，利用兩角和公式整理，利用周期公式求得ω，得到函數(shù)解析式，在根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的遞增區(qū)間．
（2）利用余弦定理表示出cosB，根據(jù)基本不等式求得cosB的范圍，進而得到B的范圍，求得2B-

π

6

的范圍，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=（

3

sinωx，cosωx）•（cosωx，-cosωx）=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
∴T=

2π

2ω

=π，ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∵當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

時，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，函數(shù)單調(diào)增，
∵x∈[0，2π]，k=0，1，2，
∴函數(shù)在[0，2π]上的增區(qū)間為：[0，

π

3

]，[

5π

6

，

4π

3

]，[

11π

6

，2π]，
（2）∵△ABC中，cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴0＜B≤

π

3

，
∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
∴sin（2B-

π

6

）-

1

2

∈（-1，

1

2

]，即f（B）的取值范圍是（-1，

1

2

]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解題的過程中要特別注意角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性來解決取值范圍的問題．