Question

如圖，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分別是AB、PC、CD的中點．求證：

(1)直線AR∥平面PMC；

(2)直線MN⊥直線AB.

Answer 1

　證法1：(1)連接CM，∵ABCD為矩形，R、M分別為AB、CD的中點，∴MA綊CR，∴AMCR為平行四邊形，∴CM∥AR，

又∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC.

(2)連接MR、NR，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面AC，∴PA⊥AB，AB⊥平面PAD，∵MR∥AD，NR∥PD，

∴平面PDA∥平面NRM，

∴AB⊥平面NRM，則AB⊥MN.

證法2：(1)以A為原點，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設AB＝a，AD＝b，AP＝c，則B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，∵M、N、P分別為AB、PC、CD的中點，∴M(，0,0)，N(，，)，R(，b,0)，

∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC.