Question

（理做）已知函數(shù)f（x）=2^x-2^-|x|，
（1）若f（x）=0，求x的值；
（2）若對(duì)于t∈[1，2]時(shí)，不等式2f（2t）+mf（t）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，化簡(jiǎn)f（x）=0，然后，針對(duì)a進(jìn)行討論；
（2）首先，將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化：得到m≥-（4^t+1）恒成立，也就是m大于或等于-（4^t+1）的最大值-5，最后，得到結(jié)果．

解答： 解：（1）f（x）=0，
即2^x-2^-|x|=0，
當(dāng)x≥0，即2^x-2^-x=0，
化簡(jiǎn)，得4^x=1，
∴x=0，
當(dāng)x＜0，即2^x-2^x=0，
即0=0，恒成立
綜上，x的值（-∞，0]．
（2）2f（2t）+mf（t）=2（22t-

1

22t

+m(2t-

1

2t

)≥0，
化簡(jiǎn)，得
(2t-

1

2t

)(4t+1+m)≥0，
∵t∈[1，2]，
∴2^t＞

1

2t

，
∴4^t+1+m≥0，
即m≥-（4^t+1）恒成立，
也就是m大于或等于-（4^t+1）的最大值-5，
∴m≥-5，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍[-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性和冪的運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．