Question

設(shè)直線l：2x+y+2=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線為l'，若l'與橢圓x²+

y2

4

=1的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為

1

2

的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的直線l′為y=-2x+2，與橢圓聯(lián)立得：

y=-2x+2 x2+ y2 4 =1

解得

x=0 y=2

或

x=1 y=0

則A（0，2），B（1，0），所以AB=

(0-1)2+(2-0)2

=

5

，
因?yàn)椤鱌AB的面積為

1

2

，所以AB邊上的高為

5

5

設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），代入橢圓方程得：a²+

b2

4

=1；
P到直線y=-2x+2的距離d=

|2a+b-2|

22+1

=

5

5

即2a+b-2=1或2a+b-2=-1；
聯(lián)立得：

2a+b-2=1 a2+ b2 4 =1

①或

2a+b-2=-1 a2+ b2 4 =1

②，
把①中的b消去得8a²-12a+5=0，因?yàn)椤?144-160=-16＜0，所以方程無(wú)解；
由②消去b得：8a²-4a-3=0，△=16+96=112＞0，
所以a有兩個(gè)不相等的根，則對(duì)應(yīng)的b也有兩個(gè)不等的根，所以滿足題意的P的坐標(biāo)有兩個(gè)．
故選B