Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2，側(cè)面PAD是正三角形且與底面ABCD垂直，E是AB中點，PC與平面ABCD所成角為30？．
（1）證明：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角P-CE-D的大��；
（3）求點D到平面PCE的距離．

Answer 1

分析：（1）取AD中點O，可以得出PO⊥面ABCD，∠PCO=30°，以O為原點，OD所在直線為x軸，建立空間直角坐標系，通過得出

CD • OP =0 CD • OD =0

證出

CD ⊥ OP CD ⊥ OD

后，可以證出CD⊥平面PAD
（2）分別求出平面PCE、平面DEC的一個法向量，利用兩法向量的夾角求出二面角P-CE-D的大小
（3）點D到平面PCE的距離等于

CD

在

n

方向上的投影的絕對值．

解答：解
（1）證明：取AD中點O．連接OP，∵△PAD為等邊三角形，
∴PO⊥AD，又面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，連接OC，則
∠PCO為PC與平面ABCD所成角，∠PCO=30°．AD=2，則OP=

3

．OC=3，
∴DC=2

2

．以O為原點，OD所在直線為x軸，建立空間直角坐標系．則O（0，0，0）
D（1，0，0），P（0，0，

3

），C（1，2

2

，0），E（-1，

2

，0）
∴

OD

=（1，0，0），

OP

=（0，0，

，3

），

CD

=（0，-2

2

，0），得出

CD • OP =0 CD • OD =0

∴

CD ⊥ OP CD ⊥ OD

又OD∩OP=O，
∴CD⊥平面PAD；
（2）由（1）得

PE

=（-1，

2

，-

3

），

PC

=（1，2

2

，-

3

）
設平面PCE的一個法向量為

n

=（x，y，z），則

n • PE =0 n • PC =0

即

-x+ 2 y- 3 z=0 x+2 2 y- 3 z=0

取 x=1，則得為

n

=（1，-

2

，-

3

），又易知平面DEC的一個法向量為

OP

=（0，0，

3

）
∴cos＜

OP，

n

＞=

OP • n

| OP| • | n |

=-

2

2

．因為二面角P-CE-D是銳二面角，所以二面角P-CE-D的大小是45°．
（3）

CD

=（0，-2

2

，0），由（2）知平面PCE的一個法向量為

n

=（1，-

2

，-

3

），

CD

在

n

方向上的投影為

CD • n

| n |

=

4

6

=

2 6

3

，
∴點D到平面PCE的距離為

2 6

3

．

點評：本題考查直線和平面垂直的判定，二面角、點面距的計算．利用空間向量的方法，思路相對固定，能降低思維難度，正確的應用計算公式是關鍵，易錯點是有時不能夠準確寫出相關點和向量的坐標．