Question

8．求數(shù)列1，3a，5a²，…，（2n-1）a^n-1（a≠0）的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 通過a=1，求解數(shù)列的和，與a≠1利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和．

解答 解：當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列1，3a，5a²，…，（2n-1）a^n-1，化為：1，3，5，7，…2n-1．
則S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²；
當(dāng)a≠1時(shí)，有
S_n=1+3a+5a²+7a³+…+（2n-1）a^n-1，…①
aS_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+（2n-1）aⁿ，…②
①-②得S_n-aS_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-（2n-1）aⁿ，
（1-a）S_n=1-（2n-1）aⁿ+2（a+a²+a³+a⁴+…+a^n-1）．
=1-（2n-1）aⁿ+2•$\frac{a（1-{a}^{n-1}）}{1-a}$
=1-（2n-1）aⁿ+$\frac{2（a-{a}^{n}）}{1-a}$．
又1-a≠0，
∴S_n=$\frac{1-（2n-1）{a}^{n}}{1-a}+\frac{2（a-{a}^{n}）}{{（1-a）}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和的基本方法，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．