Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E、F分別在線段BC和AD上，EF∥AB，將矩形ABEF沿EF折起．記折起后的矩形為MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．

（Ⅰ）求證：NC∥平面MFD；
（Ⅱ）求四面體NFEC體積的最大值，并求此時D點到平面CFN的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四邊形MNEF、EFDC都是矩形，證得四邊形MNCD是平行四邊形，從而得到NC∥MD，再由線面平行的判定得答案；
（Ⅱ）設(shè)NE=x，則EC=4-x，其中0＜x＜4，寫出四面體NFEC的體積為${V}_{NFEC}=\frac{1}{3}{S}_{△FEC}•NE=\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•（4-x）•3）x$=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$，利用二次函數(shù)知識可得當x=2時，四面體的體積最大，設(shè)出D到平面CFN的距離為h，通過解直角三角形求得FN=FC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，NC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，得到S_△CFN，由V_N-DFC=V_D-NFC列式求得得$h=\frac{6}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}$．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
∵四邊形MNEF、EFDC都是矩形，
∴MN∥EF∥CD，MN=EF=CD，
∴四邊形MNCD是平行四邊形，則NC∥MD，
∵NC?平面MFD，MD?平面MFD，
∴NC∥平面MFD；
（Ⅱ）解：設(shè)NE=x，則EC=4-x，其中0＜x＜4，由條件可知NE⊥平面FEC，
∴四面體NFEC的體積為${V}_{NFEC}=\frac{1}{3}{S}_{△FEC}•NE=\frac{1}{3}•（\frac{1}{2}•（4-x）•3）x$=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x$．
∴當x=2時，四面體的體積最大，且（V_N-FEC）_max=2．
由題意可知，四邊形EFDC為矩形，∴S_△EFC=S_△DFC，故V_N-EFC=V_N-DFC，
設(shè)D到平面CFN的距離為h，在△CFN中，F(xiàn)N=FC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{13}$，NC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴${S}_{△CFN}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{22}$．
由${V}_{N-DFC}={V}_{D-NFC}=\frac{1}{3}{S}_{△CFN}•h=2$，得$h=\frac{6}{\sqrt{22}}=\frac{3\sqrt{22}}{11}$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，關(guān)鍵是注意折疊問題折疊前后的變量和不變量，是中檔題．