已知橢圓x2+
y2
4
=1的左，右兩個頂點分別為A、B．曲線C是以A、B兩點為頂點，離心率為
5
的雙曲線．設點P在第一象限且在曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點T．
（1）求曲線C的方程；
（2）設P、T兩點的橫坐標分別為x1、x2，證明：x1•x2=1．
考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）依題意設雙曲線C的方程，利用雙曲線的離心率為
5
，建立等式，從而可求雙曲線C的方程；
（2）設直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定P、T的橫坐標，即可證得結(jié)論
解答： （1）解：依題意可得A（-1，0），B（1，0）．…（1分）
設雙曲線C的方程為x2-
y2
b2
=1（b＞0），
因為雙曲線的離心率為
5
，所以
1+b2
=
5
，即b=2．
所以雙曲線C的方程為x2-
y2
4
=1．…（3分）
（2）證明：設點P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），
則直線AP的方程為y=k（x+1），…（4分）
代入橢圓方程整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，
解得x=-1或x=
4-k2
4+k2
．
所以x2=
4-k2
4+k2
．．…（6分）
同理可得，x1=
4+k2
4-k2
．…（7分）
所以x1•x2=1．…（8分）
點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力．
練習冊系列答案
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已知3sinx+4cosx=5，求tanx的值．

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已知函數(shù)f（x）=asinx+cosx，a為是常數(shù)，x∈R．
（1）請指出函數(shù)f（x）的奇偶性，并給予證明；
（2）當a=
3
，x∈[0，
π
2
]時，求f（x）的取值范圍．

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已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a2=-1，a5=5．
（1）求{an}的通項an．
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設函數(shù)f（x）=x2+ax-lnx．
（Ⅰ）若a=1，試求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）求經(jīng)過坐標原點0的曲線y=f（x）的切線方程；
（Ⅲ）令g（x）=
f(x)
ex
，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

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如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
（1）求異面直線BC與C1D1所成的角；
（2）若E為AA1的中點，求證：AC1∥平面B1D1E．

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已知向量
m
=（1，1），向量
n
與向量
m
的夾角為
3π
4
，
m
•
n
=-1，且向量
n
與向量
q
=（1，0）共線．
（Ⅰ）求向量
n
的坐標
（Ⅱ）若向量
p
=（2cos2
C
2
，cosA），其中A、C為△ABC的內(nèi)角，且∠B=
π
3
，求|
n
+
p
|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）的最小值為1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間[3a，a+1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+2m+1的圖象上方，試確定實數(shù)m的取值范圍．

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如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱D1D的中點，點F在棱B1B上，且滿足B1F=2BF．
（1）求證：EF⊥A1C1；    
（2）求幾何體ABFED的體積．

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