Question

如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、、，我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.

（1）已知橢圓和，判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓為，且直線與橢圓為相交于兩點(diǎn)(異于端點(diǎn))，試問(wèn)：當(dāng)面積最大時(shí)， 是否與有關(guān)？并證明你的結(jié)論.

（3）根據(jù)與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程，提出你認(rèn)為有價(jià)值的相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；

 

Answer 1

【答案】

見(jiàn)解析.

【解析】第一問(wèn)中利用根據(jù)已知的的定義進(jìn)行判定特征三角形是否相似即可

第二問(wèn)中，設(shè)直線方程，借助于聯(lián)立方程組，和韋達(dá)定理可以表示斜率之積，然后可知為定植

第三問(wèn)中，利用類比推理的思想可知兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有：           

兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方；

分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；

兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合；

過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比

解：（1）由題意可知，橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、，我們稱為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比，所以橢圓與相似. ………2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912184062455382/SYS201207091219178588524077_DA.files/image005.png">的特征三角形是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，

而橢圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，

因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為2:1                          ……… 4分

                                                                      

（2）橢圓的方程為：.

        = 與b無(wú)關(guān)                                 -----------6分

（3）橢圓的方程為：.        

兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有：           

兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方；

分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；

兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合；

過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比. ---------------6分