Question

已知A（2，0），B（x₀，y₀）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上兩點，滿足直線AB的斜率為-

3

4

，且線段AB被直線l：y=x平分．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是橢圓C上異于A，B的動點，若直線AP交M于點M，直線交l于點，試探究

OM

•

ON

是否為定值，并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知a=2，設(shè)AB：y=-

3

4

(x-2)，代入

x2

4

+

y2

b2

=1，得（4b²+9）x²-36x+4（9-4b²）=0，由此利用韋達(dá)定理求出AB中點為（

18

4b2+9

，

6b2

4b2+9

），從而能求出橢圓方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B（-

2

7

，

12

7

），設(shè)P（x′，y′），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線AP：y=

y′

x′-2

(x-2)，代入y=x，得x1=

-2y′

x′-y′-2

，直線BP：y-

12

7

=

y′- 12 7

x′+ 2 7

(x+

2

7

)，代入y=x，得x2=

12 7 x′+ 2 7 y′

x′-y′+2

，由此能求出

OM

•

ON

為定值

24

7

．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（2，0），B（x₀，y₀）是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上兩點，
∴a=2，設(shè)AB：y=-

3

4

(x-2)，代入

x2

4

+

y2

b2

=1，
得（4b²+9）x²-36x+4（9-4b²）=0，
由韋達(dá)定理x0+2=

36

4b2+9

，推導(dǎo)出x0=

18-8b2

4b2+9

，y0=

12b2

4b2+9

，
得到AB中點為（

18

4b2+9

，

6b2

4b2+9

），
由

18

4b2+9

=

6b2

4b2+9

，解得b²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B（-

2

7

，

12

7

），
設(shè)P（x′，y′），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線AP：y=

y′

x′-2

(x-2)，代入y=x，得x1=

-2y′

x′-y′-2

，
直線BP：y-

12

7

=

y′- 12 7

x′+ 2 7

(x+

2

7

)，代入y=x，得x2=

12 7 x′+ 2 7 y′

x′-y′+2

，
則

OM

•

ON

=2x₁y₁=-

8

7

•

y′(6x′+y′)

(x′-y′)2-4

=
-

8

7

•

6x′y′+(y′)2

(x′)2-2x′y′+(y′)2-4

=-

8

7

•

6x′y′+(y′)2

4- 4 3 (y′)2-2x′y′+(y′)2-4

=

24

7

．
∴

OM

•

ON

為定值

24

7

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積是否為定值的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．