Question

設(shè)p＞1，0≤x≤1，求函數(shù)f(x)=x^p+(1-x)^p的值域．

 

Answer 1

答案：
解析：

易知f(x)在[0，1]連續(xù)可導(dǎo)，函數(shù)f(x)在[0，1]上一定存在最大值與最小值，這樣，求函數(shù)f(x)的值域，可轉(zhuǎn)化為求最值． 　　f′(x)=pxp-1-p(1-x)p-1 　　　　=p[xp-1-p(1-x)p-1] 　　令f′(x)=0，則得xp-1=(1-x)p-1 　　即x=1-x，x= 　　 　　f(0)=f(1)=1 　　又p＞1，∴　f(x)的值域?yàn)閇，1]

提示：

對于閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求[a，b]上的最值可簡化過程，即直接將可疑點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)值比較即可斷定最大的函數(shù)值就是最大值，最小的函數(shù)值就是最小值，這樣可以省去判別極值的手續(xù)，達(dá)到又快捷又簡便的目的