Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

，下列結(jié)論正確的是

④

．
①f（x）在（-∞，+∞）上不是單調(diào)函數(shù)
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解；
③?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個(gè)零點(diǎn)；
④?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）．

Answer 1

分析：①判斷函數(shù)是奇函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性即可；
②利用函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上具有單調(diào)性，即可得到結(jié)論；
③0是方程f（x）-kx=0的一個(gè)根＜而當(dāng)x＞0，k＞1時(shí)，方程

x

1+x

-kx=0無(wú)解，即函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)，同理x＜0時(shí)，亦無(wú)解，故③不正確；
④由②的單調(diào)性即可判斷出

解答：解：函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，圖象如圖所示
①?x∈R，f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=0
函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
∵x＞0時(shí)，f(x)=

x

1+x

，∴f′(x)=

1

(1+x)2

＞0
∴函數(shù)是實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)增函數(shù)，故①不正確；
②由①知，m∈（0，1），方程f（x）=m有唯一實(shí)數(shù)解，故②不正確；
③∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函數(shù)g（x）的一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x＞0時(shí)，若?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)，則方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化為kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程無(wú)解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點(diǎn)；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（-∞，0）上有零點(diǎn)，故③不正確；
④由②可知：函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

，在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，因此?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故④正確．
綜上可知：只有④正確．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，由已知函數(shù)得出其奇偶性和單調(diào)性及畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．