Question

設(shè)有3個(gè)投球手，其中一人命中率為q，剩下的兩人水平相當(dāng)且命中率均為p（p，q∈（0，1）），每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．
（Ⅰ）當(dāng)p=q=時(shí)，求E（ξ）及D（ξ）；
（Ⅱ）當(dāng)，時(shí)，求ξ的分布列和E（ξ）．

Answer 1

【答案】分析：（1）每位投球手均獨(dú)立投球一次，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相等，判斷符合二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到結(jié)果
（2）由題意知每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．因?yàn)槿齻�(gè)人投球得到最多投入3個(gè)，最少0個(gè)，得到變量的可能取值，看出對應(yīng)的事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的規(guī)律公式得到概率．
解答：解：（Ⅰ）∵每位投球手均獨(dú)立投球一次，
當(dāng)p=q=時(shí)，每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率相等，
∴ξ～B（3，），由二項(xiàng)分布的期望和方差公式得到結(jié)果
∴Eξ=np=3×=，Dξ=np（1-p）=3×=
（Ⅱ）由題意知每位投球手均獨(dú)立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機(jī)變量為ξ．
則ξ的可取值為0，1，2，3，
ξ=0表示三個(gè)人都沒有射中，
根據(jù)相互獨(dú)立事件和互斥事件的規(guī)律公式得到概率
；；

∴ξ的分布列為

∴
點(diǎn)評：解決離散型隨機(jī)變量分布列問題時(shí)，主要依據(jù)概率的有關(guān)概念和運(yùn)算，同時(shí)還要注意題目中離散型隨機(jī)變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運(yùn)算要簡單的多．