Question

【題目】已知函數(shù)f(x)，k≠0，k∈R．

（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得的表達(dá)式，討論的范圍，分析與的關(guān)系，即可得結(jié)論；
（2）設(shè) ，分析可得的范圍，則 對(duì)的范圍進(jìn)行分情況討論，討論函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，綜合即可得答案．

（1）根據(jù)題意，函數(shù)f(x)，其定義域?yàn)镽，

f(-x)= ，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）=f（﹣x），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，

當(dāng)k≠1時(shí)，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；

（2）設(shè)t=2x，x∈（﹣∞，0]，則有0＜t≤1，則y=，

當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上遞減，符合題意；

當(dāng)k＞0時(shí)，t∈（0，）上時(shí)，函數(shù)y=遞減，t∈（，+∞）上時(shí)，函數(shù)y=遞增，若已知f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，必有≥1，解可得k≥1，

綜合可得：t的取值范圍是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．