Question

已知兩個函數(shù)f(x)＝8x²＋16x－k，g(x)＝2x³＋5x²＋4x，其中k為實數(shù)．

(1)對任意的x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；

(2)對任意的x₁∈[－3，3]，x₂∈[－3，3]，都有f(x₁)≤g(x₂)，求k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)設h(x)＝g(x)－f(x)，則h(x)＝2x³－3x²－12x＋k．

　　對于“任意的x∈[－3，3]都有f(x)≤g(x)”等價于－3≤x≤3，h(x)的最小值大于或等于零，(x)＝6x²－6x－12＝6(x＋1)(x－2)．

　　于是h(x)的最小值為－45＋k，即－45＋k≥0，k≥45．

　　(2)對于“任意的x₁∈[－3，3]，x₂∈[－3，3]，都有f(x₂)?≤g(x₂)”等價于“f(x)在[－3，3]的最大值小于或等于g(x)在[－3，3]的最小值．”下面求在[－3，3]上的g(x)的最小值．

　　(x)＝6x²＋10x＋4＝2(3x＋2)(x＋1)，列表易得g(x)?在[－3，3]內(nèi)的最小值為g(－3)＝－21．

　　又f(x)＝8x²＋16x－k＝8(x＋1)²－8－k在[－3，3]內(nèi)的最大值為f(3)＝120－k．

　　于是120－k≤－21．∴k≥141．

　　思路分析：構造函數(shù)h(x)＝g(x)－f(x)，利用導數(shù)求解較為簡便．