Question

已知實(shí)數(shù)a，b滿足a²+b²=1（a＞0，b＞0），A（a，1），B（1，b），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的面積的取值范圍是________．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于M，或點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，延長(zhǎng)MA，NB交于點(diǎn)P．進(jìn)而可推斷出S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB，用a，b分別表示它們的面積整理求得S_△AOB的表達(dá)式，進(jìn)而利用基本不等式求得ab的范圍，進(jìn)而求得△AOB的面積的取值范圍．
解答：∵a²+b²=1 且a＞0，b＞0 則0＜a＜1，0＜b＜1
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于M，或點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，延長(zhǎng)MA，NB交于點(diǎn)P．
則S_△AOB=S_OMPN-S_△OAM-S_△OBN-S_△PAB
=1-1•-1-（1-a）（1-b）
=-
∵1=a²+b²≥2ab，∴ab≤[當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立]
又∵0＜a＜1，0＜b＜1，∴ab＞0
∴-≤-＜0
∴≤-＜
即≤S_△AOB＜
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓與方程的綜合應(yīng)用．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．