Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，△ABC為正三角形，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AC，PA⊥平面ABCD．
（1）若E為棱PC的中點(diǎn)，求證PD⊥平面ABE；
（2）若AB=3，求點(diǎn)B到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得CD⊥平面PAC，CD⊥AE．利用等腰三角形的性質(zhì)與線面垂直的判定定理可得：AE⊥平面PCD，可得AE⊥PD．利用面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理可得AB⊥PD，進(jìn)而證明結(jié)論．
（2）解法一：設(shè)點(diǎn)B的平面PCD的距離為d，利用V_B-PCD=V_P-BCD即可得出．
解法二：由（1）可知：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸．過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AD，垂足為M，設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，利用點(diǎn)B到平面PCD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE?平面PAC，∴CD⊥AE．
∵AC=PA，E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，
而PD?平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
由面面垂直的性質(zhì)定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，
又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．
（2）解法一：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴$PC=3\sqrt{2}$，
由（1）的證明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，
∵AB⊥AD，△ABC為正三角形，∴∠CAD=30°，
∵AC⊥CD，∴$CD=ACtan{30^0}=\sqrt{3}$．
設(shè)點(diǎn)B的平面PCD的距離為d，則${V_{B-PCD}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{3}×d=\frac{{\sqrt{6}}}{2}d$．
在△BCD中，∠BCD=150°，∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}sin{150^0}=\frac{1}{2}×3×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\sqrt{3}$．
∴${V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{3}{4}\sqrt{3}×3=\frac{3}{4}\sqrt{3}$，
∵V_B-PCD=V_P-BCD，∴$\frac{{\sqrt{6}}}{2}d=\frac{3}{4}\sqrt{3}$，解得$d=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
即點(diǎn)B到平面PCD的距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$．
解法二：由（1）可知：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸．
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AD，垂足為M，則A（0，0，0），B（3，0，0），C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），D（0，2$\sqrt{3}$，0），P（0，0，3），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{PD}$=（0，2$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{CD}$=$（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$．
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{2\sqrt{3}y-3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2）．
∴點(diǎn)B到平面PCD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{1+3+{2}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．