Question

13．關(guān)于函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）（x∈R），有下列命題：
①y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{π}{6}$對(duì)稱(chēng)     
②y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱(chēng)
③若f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必為π的整數(shù)倍
④y=f（x）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞增
⑤y=f（x）的圖象可由y=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到
⑥y=f（x）的表達(dá)式可改寫(xiě)成y=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
其中正確命題的序號(hào)有①④．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)判斷可得．

解答 解：由2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，當(dāng)k=-1時(shí)，可得函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{π}{6}$，故選項(xiàng)①正確；
由2x-$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，令$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{6}$可解得k=$\frac{1}{6}$∉Z，即y=f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{6}$，0）對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
∵函數(shù)的周期為$\frac{2π}{2}$=π，若f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必為$\frac{π}{2}$的整數(shù)倍，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]?（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$），故y=f（x）在（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)④正確；
函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到y(tǒng)=2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象，而不是f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象，故選項(xiàng)⑤錯(cuò)誤；
由誘導(dǎo)公式可得y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）=2cos[$\frac{π}{2}$-（2x-$\frac{π}{6}$=2cos[（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{2}$]=2cos（2x-$\frac{2π}{3}$）≠2cos（2x+$\frac{π}{3}$），故選項(xiàng)⑥錯(cuò)誤．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及圖象的對(duì)稱(chēng)性和周期性以及誘導(dǎo)公式和函數(shù)圖象變換，屬中檔題．