Question

已知函數(shù)（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）討論方程f（x）=0解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）在A點(diǎn)處的切線方程是y=x+b，建立關(guān)于a和b的方程組，解之即可；
（2）處理函數(shù)的單調(diào)性問題通常采用導(dǎo)法好用，若函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，則在（1，+∞）上恒成立；
（3）對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)．把a(bǔ)代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，根據(jù)最小值小于0得到函數(shù)沒有零點(diǎn)即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．
解答：解：（1）因?yàn)椋?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125213119415808/SYS201310251252131194158019_DA/1.png">（x＞0），又f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b
所以解得：a=2，b=-2ln2（3分）
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上恒成立．則在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立．所以有a≤1（13分）
（3）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時(shí)方程無解；（7分）
當(dāng)a＜0時(shí)，在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)．∵，，所以方程有惟一解．（8分）
當(dāng)a＞0時(shí)，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，f（x）在內(nèi)為增函數(shù)．
所以當(dāng)時(shí)，有極小值即為最小值．（10分）
當(dāng)a∈（0，e）時(shí)，，此方程無解；
當(dāng)a=e時(shí)，．此方程有惟一解．
當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125213119415808/SYS201310251252131194158019_DA/18.png">且，所以方程f（x）=0在區(qū)間上有惟一解，（12分）
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，（x-lnx）'＞0，所以x-lnx＞1
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125213119415808/SYS201310251252131194158019_DA/22.png">，所以
所以方程f（x）=0在區(qū)間上有惟一解．
所以方程f（x）=0在區(qū)間（e，+∞）上有惟兩解．（14分）
綜上所述：當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，方程無解；
當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，方程有惟一解；
當(dāng)a＞e時(shí)方程有兩解．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查分類討論的思想，計(jì)算能力，屬于中檔題．此類題解答的關(guān)鍵是學(xué)生會根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是一道綜合題．