Question

如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC₁的中點(diǎn)，F是AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝1，AA₁＝2.

(1)求證：CF∥平面AB₁E；

(2)求三棱錐C－AB₁E在底面AB₁E上的高．

Answer 1

解析：　(1)證明：取AB₁的中點(diǎn)G，連接EG，FG，

∵F、G分別是AB、AB₁的中點(diǎn)，

∴FG∥BB₁，FG＝BB₁.

∵E為側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，

∴FG∥EC，FG＝EC，

∴四邊形FGEC是平行四邊形，

∴CF∥EG，∵CF⊄平面AB₁E，EG⊂平面AB₁E，

∴CF∥平面AB₁E.

(2)∵三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，

∴BB₁⊥平面ABC.

又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB₁，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，

∵BB₁∩BC＝B，∴AC⊥平面EB₁C，∴AC⊥CB₁，

∴VA－EB₁C＝S△EB₁C·AC

＝××1＝.

∵AE＝EB₁＝，AB₁＝，∴S△AB₁E＝，

∵VC－AB₁E＝VA－EB₁C，∴三棱錐C－AB₁E在底面AB₁E上的高為＝.