Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）x∈（1，+∞）．
（1）x=

3

2

是函數(shù)的一個極值點，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=2時，函數(shù)g（x）=-x²-b，（b＞0），若對任意m₁，m₂∈[

1

e

+1，e+1]，

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2g2+2g都成立，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)f（x）=x²+2（1-a）x+2（1-a）ln（x-1）
f′（x）=2x+2（1-a）+

2(1-a)

x-1

，…（2分）
∵x=

3

2

是函數(shù)的一個極值點，
∴f′（

3

2

）=0
解得：a=

3

2

…（4分）
（2）∵f′（x）=2x+2（1-a）+

2(1-a)

x-1

=

2x(x-a)

x-1

又f（x）的定義域為（1，+∞）．
∴當(dāng)a≤1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（1，+∞）．…（6分）
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（a，+∞），減區(qū)間為（1，a）．…（…（8分）
（3）當(dāng)a=2時，由（2）知f（x）在（1，2）減，在（2，+∞）增．
∵f（2）=0，f（

1

e

+1）=

1

e2+1

，f（e+1）=e²-3
∴y=f（x）在[

1

e

+1，e+1]上的值域為[0，e²-3]…（10分）
∵函數(shù)g（x）=-x²-b在[

1

e

+1，e+1]上是減函數(shù)，
∴y=g（x）在[

1

e

+1，e+1]上的值域為[-（e+1）²-b，-（

1

e

+1）²-b]…（11分）
∵b＞0
∴-（e+1）²-b，-（

1

e

+1）²-b都小于0
∴

.

g(m2)-f(m1)

.

＜2e2+2e，只要e²-3-[-（e+1）²-b]=e²-3+（e+1）²+b=2e²+2e-2+b＜2e²+2e即可
…（12分）
解得：0＜b＜2…（14分）