Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax，g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

（1）若對(duì)一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）記G(x)=

1

2

x2-

5

2

-g(x)，求證：G(x)＞

1

ex

-

2

ex

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分離參數(shù)a，可得a≤2lnx+

3

x

+x，故問題等價(jià)于a≤(2lnx+

3

x

+x)min．利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)2lnx+

3

x

+x的最小值；
（2）化簡(jiǎn)G（x），則原不等式可化為lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即證 xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，記F（x）=xlnx，H(x)=

x

ex

-

2

e

，則問題進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明F（x）_min＞H（x）_max，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最值；

解答： 解：（1）原不等式可化為：x3-ax≥2x(

1

2

x2-lnx-

5

2

)-x2+5x-3，化簡(jiǎn)得：ax≤2xlnx+x²+3，
∵x＞0，故上式可化為a≤2lnx+

3

x

+x恒成立，則問題等價(jià)于a≤(2lnx+

3

x

+x)min．
記t(x)=2lnx+

3

x

+x，(x＞0)，t′(x)=

x2+2x-3

x2

，
令t′（x）=0，得x=1，
∵x＞0，∴在（0，1）上，t′（x）＜0，在（1，+∞）上，t′（x）＞0，
∴t（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
故當(dāng)x=1時(shí)，t（x）有最小值為4，故a≤4，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈（-∞，4]；
（2）化簡(jiǎn)得，G（x）=lnx，則原不等式可化為lnx＞

1

ex

-

2

ex

，即證 xlnx＞

x

ex

-

2

e

成立，
記F（x）=xlnx，則F'（x）=lnx+1，
當(dāng)0＜x＜

1

e

時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減；當(dāng)x＞

1

e

時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增，
故當(dāng)x=

1

e

時(shí)，F(xiàn)（x）取得極小值，也為最小值，其最小值為F(

1

e

)=-

1

e

．
記H(x)=

x

ex

-

2

e

，則H'（x）=

1-x

ex

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，H'（x）＞0，H（x）遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，H'（x）＜0，H（x）遞減；
故當(dāng)x=1時(shí)，H（x）取得極大值，也為最大值，其最大值為H(1)=-

1

e

，
由函數(shù)F（x）的最小值與函數(shù)H（x）的最大值不能同時(shí)取到，
故x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）＞H（x），故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值加以解決．