Question

若點P是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上一點，滿足PF₁⊥PF₂，且|PF₁|=2|PF₂|，則此雙曲線的離心率為

5

．

Answer 1

分析：由于|PF₁|=2|PF₂|故點P是靠近F₂的那一支上的一點則可根據(jù)雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a再結(jié)合|PF₁|=2|PF₂|求出
|PF₁|，|PF₂|的值然后再根據(jù)PF₁⊥PF₂可得PF12+ PF22=F1F22即可得出關(guān)于a，c的關(guān)系式從而可求出離心率e=

c

a

．

解答：解：∵|PF₁|=2|PF₂|
∴|PF₁|-|PF₂|=2a
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a
∵PF₁⊥PF₂，F(xiàn)₁F₂=2c
∴PF12+ PF22=F1F22
∴c²=5a²
∴e=

c

a

=

5

故答案為

5

點評：本題主要考察了雙曲線的離心率的求解，屬中檔題，較難．解題的關(guān)鍵是抓住要求離心率即根據(jù)題中條件建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式！