Question

求函數(shù)y=3-2log_ax-log_a²x的單調(diào)遞增區(qū)間和該函數(shù)的值域．

Answer 1

考點：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：設(shè)t=log_ax，
則函數(shù)等價為y=3-2t-t²=-（t+1）²+4≤4，
即函數(shù)的值域為（-∞，4]．
函數(shù)的y=-（t+1）²+4的對稱軸為t=-1，
則（-∞，-1]上函數(shù)遞增，則[-1，+∞）上函數(shù)遞減，
若a＞1，則t=log_ax為增函數(shù)，則由log_ax≤-1，得0＜x≤

1

a

，此時函數(shù)y=3-2log_ax-log_a²x單調(diào)遞增，增區(qū)間為（0，

1

a

]，
由log_ax≥-1，得x≥

1

a

，此時函數(shù)y=3-2log_ax-log_a²x單調(diào)遞減，減區(qū)間為[

1

a

，+∞），
若0＜a＜1，t=log_ax為減函數(shù)，則由log_ax≤-1，得x≥

1

a

，此時函數(shù)y=3-2log_ax-log_a²x單調(diào)遞減，減區(qū)間為[

1

a

，+∞），
由log_ax≥-1，得0＜x≤

1

a

，此時函數(shù)y=3-2log_ax-log_a²x單調(diào)遞增，增區(qū)間為（0，

1

a

]，
故a＞1時，增區(qū)間為（0，

1

a

]，減區(qū)間為[

1

a

，+∞），
0＜a＜1時，增區(qū)間為（0，

1

a

]，減區(qū)間為[

1

a

，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．