在銳角三角形中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足條件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

解：（1）∵sin22B+sin2BsinB+cos2B=1，∴4sin2Bcos2B+2sin2BcosB-2sin2B=0，
即2sin2B（2cosB-1）（cosB+1）=0．
又△ABC為銳角三角形，∴2cosB-1=0，即∠B=．
（Ⅱ）若b=3，由上可得∠B=，由余弦定理可得 cosB==，
∴b2=9=a2+c2-2ac×=（a+c）2-3ac≥（a+c）2- （a+c）2=，
∴a+c≤6，即a+c的最大值為6．
分析：（1）利用二倍角公式對sin22B+sin2BsinB+cos2B=1進行化簡，最后求得cosB，進而求得B．
（Ⅱ）由余弦定理可得 b2=9=（a+c）2-3ac≥（a+c）2-（a+c）2=，由此求得a+c的最大值．
點評：本題主要考查了余弦定理、二倍角公式的應用．在求最值的問題上，對于二次函數(shù)，常用配方法來求，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acsinC=（a2+c2-b2）sinB，
（1）若∠C=
π
4
，求∠A的大�。�
（2）若三角形為非等腰三角形，求
c
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在銳角三角形中，三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足條件sin22B+sin2BsinB+cos2B=1．
（Ⅰ）求∠B的值；
（Ⅱ）若b=3，求a+c的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在銳角△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acsinC=（a2+c2-b2）sinB，
（1）若數(shù)學公式，求∠A的大�。�
（2）若三角形為非等腰三角形，求數(shù)學公式的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013年浙江省杭州市重點高中高考命題比賽數(shù)學參賽試卷13（理科）（解析版） 題型：解答題

在銳角△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acsinC=（a2+c2-b2）sinB，
（1）若，求∠A的大�。�
（2）若三角形為非等腰三角形，求的取值范圍．

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