Question

5．已知關(guān)于x的方程$\frac{1}{2}$x²-2lnx=m在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有實(shí)數(shù)解，求m的范圍．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可得關(guān)于x的方程$\frac{1}{2}$x²-2lnx=m在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有實(shí)數(shù)解時(shí)，m的范圍．

解答 解：令f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，
則f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$，
當(dāng)x∈[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，x∈[$\sqrt{2}$，e]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）取最小值1-ln2，
又由x=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2{e}^{2}}+2$，x=2時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{2}}{2}-2$，
故x=$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）取最大值$\frac{1}{2{e}^{2}}+2$，
若x的方程$\frac{1}{2}$x²-2lnx=m在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有實(shí)數(shù)解，
m∈[1-ln2，$\frac{1}{2{e}^{2}}+2$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，函數(shù)的值域，難度中檔．