Question

已知中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓T經(jīng)過(guò)P(1，

6

3

)，Q(

2

，

3

3

)．
（I）求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若M，N是橢圓T上兩點(diǎn)，滿足

OM

•

ON

=0，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)橢圓T的方程為mx²+ny²=1，將P、Q的坐標(biāo)代入，求出m，n的值，即可求得橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）表示出|MN|，利用M，N是橢圓T上兩點(diǎn)，滿足

OM

•

ON

=0，結(jié)合基本不等式，即可求|MN|的最大值．

解答：解：（I）設(shè)橢圓T的方程為mx²+ny²=1，將P、Q的坐標(biāo)代入得

m+ 2 3 n=1 2m+ 1 3 n=1

，∴

m= 1 3 n=1

∴橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

3

+y2=1；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

∵

OM

•

ON

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴|MN|=

x12+x22+y12+y22

=

2 3 (x12+x22)+2

∵(x1x2)2=(y1y2)2=1-

1

3

（x12+x22）+

(x1x2)2

9

∴

8(x1x2)2

9

=1-

1

3

（x12+x22）≤

8

9

(

x12+x22

2

)2
∴x12+x22≥3
∴|MN|≤2，∴|MN|的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查基本不等式，確定|MN|的表達(dá)式是關(guān)鍵．